Question

6．已知函數(shù)y=sin²x+$\frac{1}{2}$sinx+1，設(shè)當(dāng)y取得最大值時(shí)，角x的值為α，當(dāng)y取得最小值時(shí)，角x的值為β，其中α，β均屬于區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求sin（β-α）的值．

Answer 1

分析 首先，換元，確定所給函數(shù)的最值情況，然后，結(jié)合函數(shù)的最值，確定所給角度的值，最后，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解．

解答 解：y=sin²x+$\frac{1}{2}$sinx+1，
令sinx=t，（-1≤t≤1），
∴y=t²+$\frac{1}{2}t$+1，
=（t+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{16}$，
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{4}$時(shí)，該函數(shù)取得最小值，此時(shí)
sinβ=-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=1時(shí)，該函數(shù)取得最大值，此時(shí)
sinα=1，
∵α，β均屬于區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$α=\frac{π}{2}$，
∴sin（β-α）=sin（$β-\frac{π}{2}$）=-cosβ
=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$
=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的最值、換元法的思想方法、誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．