Question

14．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}$）n展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，求展開式中x的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 由二項(xiàng)式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，即可得2^n-1=256，解可得n=9，進(jìn)而可得$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展開式的通項(xiàng)，由此可得展開式中x的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：由二項(xiàng)式式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，得2^n-1=256，
即n=9，
則$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₉^r$（\sqrt{x}）^{9-r}（-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{r}$=（-2）^rC₉^r${x}^{\frac{27-7r}{6}}$．
由$\frac{27-7r}{6}=1$，解得：r=3．
∴展開式中含x的項(xiàng)是第4項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為${C}_{9}^{3}$=84，項(xiàng)的系數(shù)為$（-2）^{3}{C}_{9}^{3}$=-672．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由題意中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n值，是基礎(chǔ)題．