Question

【題目】設(shè)橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、是四條直線，所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個(gè)頂點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，若，求證：為定值；

（3）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且滿足△與△的面積的比值為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）求得的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由求得，也即求得點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入橢圓，化簡后證得為定值.

（3）將三角形和三角形的面積的比值，轉(zhuǎn)化為邊長的比值，即.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，不符合題意.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線的方程.代入橢圓方程，化簡后寫出韋達(dá)定理.由，求得，代入韋達(dá)定理，由此解方程求得的值，進(jìn)而求得直線的方程.

（1）由已知，，

又，故，

所以，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2），，

設(shè)，則，

由已知，即，

所以 ，所以，化簡得為定值．

（3）等價(jià)于，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意．

故直線的斜率存在，設(shè)：，

由消去，得，

設(shè)，，則①，②，

由，得，，將其代入①②，得③，④.將③代入④，化簡得，解得．

所以，直線的方程為．