Question

已知正四棱柱中，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

證明：(Ⅰ)因?yàn)?sub>為正四棱柱，

所以平面，且為正方形.                 ………1分

因?yàn)?sub>平面，

       所以.                                 ………2分

       因?yàn)?sub>,

       所以平面.                                    ………3分

因?yàn)?sub>平面,

所以.                                         ………4分

(Ⅱ) 如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則

             ………5分

           所以.                       

           設(shè)平面的法向量.

           所以 .即……6分

           令，則.

           所以.

           由（Ⅰ）可知平面的法向量為    .                                               ……7分

           所以.                          ……8分

           因?yàn)槎�面�?sub>為鈍二面角，

所以二面角的余弦值為.                   ………9分

(Ⅲ)設(shè)為線段上一點(diǎn),且.

          因?yàn)?sub>.

所以.               ………10分

即.

所以.                                  ………11分

設(shè)平面的法向量.

因?yàn)?sub>，

           

           所以 .即.                   ………12分

           令，則.

           所以.                                   ………13分

若平面平面，則.

即，解得.

所以當(dāng)時，平面平面.              ………14分