Question

1．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程；
（Ⅱ）若傾斜角為45°的直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）且與直線C相交于點(diǎn)A、B，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （I）用x，y表示出cosθ，sinθ，根據(jù)正余弦的平方和等于1消參數(shù)得到普通方程；
（II）寫出直線l的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程得到關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義解出AB．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），∴cosθ=$\frac{x}{2}$，sinθ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
將l的參數(shù)方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得7t²+22$\sqrt{2}$t+14=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=-$\frac{22\sqrt{2}}{7}$，t₁t₂=2．
∴t₁，t₂符號(hào)相同．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{22\sqrt{2}}{7}）^{2}-8}$=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程在求距離中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．