Question

6．已知圓錐曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）和定點A（0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是曲線C的左、右焦點．
（1）以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，求直線AF₂的極坐標系方程．
（2）若P是曲線C上的動點，求|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出直線AF₂的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程；
（2）根據(jù)橢圓的性質(zhì)得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，將利|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求出最值．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，∴F₂（1，0），
∴直線AF₂的斜率k=-$\sqrt{3}$，∴直線AF₂的直角坐標方程為y=-$\sqrt{3}x$+$\sqrt{3}$．
∴直線AF₂的極坐標方程為ρsinθ=-$\sqrt{3}ρ$cosθ+$\sqrt{3}$．
（2）P是曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上的動點，∴1≤|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≤3．
∵|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=4，∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|×（4-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|）=-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|²+4|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=-（$\overrightarrow{P{F}_{2}}$-2）²+4．
∴當|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2時，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|取得最大值4，當|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=1或3時，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|取得最小值3．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的取值范圍是[3，4]．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎題．