Question

6．已知函數(shù)f（x）=log_a（1-$\frac{a}{x}$），其中0＜a＜1．
（1）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（2）若f（x）=1，求x；
（3）若f（x）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用不等式性質(zhì)得出1$-\frac{a}{{x}_{1}}$$＜1-\frac{a}{{x}_{2}}$．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)log_a（1-$\frac{a}{{x}_{1}}$）＞log_a（1-$\frac{a}{{x}_{2}}$）．即f（x₁）＞f（x₂）．判斷即可．
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得出log_a（1-$\frac{a}{x}$）=1．即1-$\frac{a}{x}$=a．求解即可得出x的值．
（3）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出log_a（1-$\frac{a}{x}$）＞1，其中0＜a＜1.0＜1-$\frac{a}{x}$＜1，其中0＜a＜1，求解不等式得出x的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=log_a（1-$\frac{a}{x}$），其中0＜a＜1．
（1）設(shè)x₁，x₂∈（a，+∞）上，且x₁＜x₂．
∴1＞$\frac{a}{{x}_{1}}$$＞\frac{a}{{x}_{2}}$.1$-\frac{a}{{x}_{1}}$$＜1-\frac{a}{{x}_{2}}$．
∵0＜a＜1．
∴l(xiāng)og_a（1-$\frac{a}{{x}_{1}}$）＞log_a（1-$\frac{a}{{x}_{2}}$）
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（2）∵f（x）=1．
∴l(xiāng)og_a（1-$\frac{a}{x}$）=1．
即1-$\frac{a}{x}$=a．
x=$\frac{a}{1-a}$
（3）∵f（x）＞1，
∴l(xiāng)og_a（1-$\frac{a}{x}$）＞1，其中0＜a＜1．
0＜1-$\frac{a}{x}$＜1，其中0＜a＜1．
求解得出：x＞a．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，不等式求解，屬于綜合題目，注意參數(shù)a的值的限制．