Question

11．如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，t），AB∥x軸，矩形A′B′C′D′與矩形ABCD是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，點(diǎn)A′，B′分是點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)，$\frac{A′B′}{AB}$=k．已知關(guān)于x，y的元二次一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=3n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是實(shí)數(shù)）無解，在以m，n為坐標(biāo)（記為m，n）的所有的點(diǎn)中，若有且只有一個(gè)點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上．則k•t的值等于1．

Answer 1

分析 設(shè)相似比為k，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（k，kt），根據(jù)關(guān)于x，y的元二次一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=3n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是實(shí)數(shù)）無解，可得：mn=3且n≠1，若有且只有一個(gè)點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上．根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性，可得反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$（n≠1）的圖象只經(jīng)過點(diǎn)C′，即A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），進(jìn)而得到答案．

解答 解：矩形A′B′C′D′與矩形ABCD是位似圖形，
設(shè)相似比為k，
頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，t），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（k，kt），
∵關(guān)于x，y的元二次一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=3n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是實(shí)數(shù)）無解，
∴mn=3且n≠1，
∵以m，n為坐標(biāo)（記為m，n）的所有的點(diǎn)中，若有且只有一個(gè)點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上．
∴反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$的圖象只經(jīng)過點(diǎn)A′和點(diǎn)C′，
而反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$（n≠1）的圖象只經(jīng)過點(diǎn)C′，
即A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），
∴k•t=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是反比例函數(shù)的對稱性，一元二次方程根的個(gè)數(shù)判斷，位似圖形，是初中知識的綜合應(yīng)用，難度中檔．