Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）0．

解析試題分析：（Ⅰ）函數(shù)在上為增函數(shù)，則它的導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，于是問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，這類問題若方便分離參數(shù)一般分離參數(shù)，若不方便分離參數(shù)，則可從函數(shù)自身的單調(diào)性解決，但往往會涉及分類討論，較為麻煩，根據(jù)題目特點(diǎn)，本題需要采用第二種方法；（Ⅱ）這是一個(gè)由方程有解求參數(shù)取值范圍（或最值）的問題，這類問題若方便分離參一般可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，若不方便分離參數(shù)，則根據(jù)函數(shù)類型，采用數(shù)形結(jié)合方法解答，本題適合于第一種方法，但本題分離參數(shù)后，若直接求的最值，則較為困難，比較巧妙的做法是，將問題轉(zhuǎn)化為求的最值.
試題解析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以
在上恒成立       
?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
所以在上為增函數(shù)，故 符合題意
?當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以在上恒成立
令函數(shù)，其對稱軸為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/60/8/mt8bd1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，要使在上恒成立，只要即可，
即，所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/60/8/mt8bd1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.綜上所述，的取值范圍為 
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，可化為，
問題轉(zhuǎn)化為在上有解，
即求函數(shù)的值域，
令，，
所以當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，因此，
而，所以，即當(dāng)時(shí)，取得最大值0.
考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)與方程的綜合問題.