Question

【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線E，直線（t為參數(shù)）與曲線E交于A，B兩點(diǎn)．

（1）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為，求的最小值；

（2）求出曲線E的直角坐標(biāo)方程，并求出直線l被曲線E截得的弦AB長．

Answer 1

【答案】（1）（2）；

【解析】

（1）由，得出曲線C的直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而得出曲線C的參數(shù)方程，利用參數(shù)方程，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；

（2）由伸縮變換得出曲線的直角坐標(biāo)方程，將直線的參數(shù)方程可化為標(biāo)準(zhǔn)形式，并代入曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，即可得出.

解：（1）根據(jù)，進(jìn)行化簡得

∴曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)）

設(shè)

∴

則當(dāng)，即時，取最小值為

（2）∵，∴

代入C得．

將直線的參數(shù)方程可化為標(biāo)準(zhǔn)形式（t為參數(shù)）

代入曲線E方程得：（A，B處對應(yīng)的參數(shù)為，）

∴

∴．