Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|ax-2|+lnx（其中a為常數(shù)）

（1）若a=0，求函數(shù)g（x）=的極值；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）令F（x）=f（x）-，當(dāng)a≥2時，判斷函數(shù)F（x）在（0，1]上零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）極大值為e，無極小值．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；（2）對a分a≤0和a＞0兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由題得|ax-2|=-lnx，先求出函數(shù)y=-lnx在（0，1]上為減函數(shù)，函數(shù)的最小值為y=1，再對a分類討論，結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析得到函數(shù)F（x）在（0，1]上零點的個數(shù).

解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=2+lnx，

g（x）=，g'（x）=-，由g'（x）=0，得x=，

當(dāng)0＜x＜時，g′（x）＞0 g（x）單調(diào)遞增：

當(dāng)x＞時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，即當(dāng)x=，時函數(shù)g（x）取得極大值，極大值為g（）=e，無極小值．

（2）若a≤0．則f（x）=-ax+2+lnx，f′（x）=-a+＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

若a＞0，則f（x）=，

當(dāng)x≥時，f′（x）=a+＞0，∴f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)0＜x＜時，f′（x）=-a+，

由f′（x）＞0得0＜x＜，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

由f′（x）＜0得＜x＜，此時函數(shù)單調(diào)遞減，

綜上當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），

當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），[，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（，）．

（3）F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx-，

由F（x）=0得|ax-2|=-lnx，

則k(x)=-lnx，則函數(shù)在（0，1]上為減函數(shù)，函數(shù)的最小值為y=1，

當(dāng)時，y=|ax-2|的零點為∈（0，1],

當(dāng)x時，F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx，

由F（x）=0，得，即.

令，，所以在單調(diào)遞增，，又，所以時，

因為，所以時F（x）無零點.

當(dāng)x≥時，y=ax-2，設(shè)h（x）=ax-2，

當(dāng)h（1）≥1．即a-2≥1，即a≥3時，兩個函數(shù)有1個交點，即函數(shù)F（x）在（0，1]上零點的個數(shù)為1個，

當(dāng)h（1）＜1．即a-2＜1，即2＜a＜3時，兩個函數(shù)有0個交點，即函數(shù)F（x）在（0，1]上零點的個數(shù)為0個，

綜合得2≤a＜3時，函數(shù)F（x）在（0，1]上零點的個數(shù)為0個，a≥3時，函數(shù)F（x）在（0，1]上零點的個數(shù)為1個，