Question

【題目】某廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺(tái)，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為（萬元）（），其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）.

（1）把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；

（2）年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）生產(chǎn)475臺(tái)所得利潤(rùn)最大.

【解析】

（1）根據(jù)題意，分和兩種情況進(jìn)行討論，分別根據(jù)利潤(rùn)＝銷售收入成本，列出函數(shù)關(guān)系，即可得到利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）所得的分段函數(shù)，分類討論，分別求出兩段函數(shù)的最值，然后進(jìn)行比較，即可得到答案；

解：（1）當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品能售出百臺(tái)；

當(dāng)時(shí)，只能售出5百臺(tái)，這時(shí)，成本為萬元，

依題意可得利潤(rùn)函數(shù)為

.

即.

（2）當(dāng)時(shí)，，
∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)，
．
綜合得，當(dāng)時(shí)，取最大值，
∴年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)，工廠利潤(rùn)最大．