Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由，得，兩式

相減得，即，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)也成立；（2），利用裂項(xiàng)相消法求和即可得結(jié)果.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，則，

當(dāng)時(shí)，由，得，

相減得，即，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)也成立，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2），

所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：

.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式之間的關(guān)系，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：

(1) ；（2） ；

（3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.