Question

7．求下列函數(shù)的值域：
（1）f（x）=x²-2x+9（-3≤x≤2）；
（2）f（x）=$\frac{3x+2}{x-2}$（x∈[1，2）∪（2，4]）；
（3）f（x）=$\sqrt{5+4x-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）配方，f（x）=（x-1）²+8，從而看出f（-3）＞f（2），這樣即可得出該函數(shù)的值域；
（2）分離常數(shù)，f（x）=$3+\frac{8}{x-2}$，從而看出該函數(shù)在[1，2），（2，4]上單調遞減，這樣根據(jù)單調性的定義即可得出該函數(shù)的值域；
（3）配方，5+4x-x²=-（x-2）²+9，從而得到0≤5+4x-x²≤9，這樣便可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=（x-1）²+8；
∴f（-3）＞f（2），f（-3）=24；
∴該函數(shù)的值域為[8，24]；
（2）f（x）=$\frac{3（x-2）+8}{x-2}=3+\frac{8}{x-2}$；
∴f（x）在[1，2），（2，4]上單調遞減；
∴f（x）≤f（1）=-5，或f（x）≥f（4）=7；
∴該函數(shù)的值域為（-∞，-5]∪[7，+∞）；
（3）0≤5+4x-x²=-（x-2）²+9≤9；
∴$0≤\sqrt{5+4x-{x}^{2}}≤3$；
∴原函數(shù)的值域為[0，3]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，配方求二次函數(shù)的值域，根據(jù)取得頂點值的情況及比較端點值的方法求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，分離常數(shù)法的運用，根據(jù)不等式的性質求函數(shù)值域．