Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)在上的最大值與最小值；
（2）若時，函數(shù)的圖像恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)時，．

Answer 1

（1）；（2）實(shí)數(shù)取值范圍是 ；(3)證明過程見解析.

解析試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，判斷的單調(diào)性，可求得最值；（2）將圖象問題轉(zhuǎn)化為不等式在恒成立的問題，進(jìn)而變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/38/e/apkpf2.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，即求的取值范圍的問題，可得取值范圍是；（3）利用，令轉(zhuǎn)化為，累加即可.
試題解析：
解：（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8e/d/zcbud2.png" style="vertical-align:middle;" />，且，          1分
當(dāng)時，，當(dāng)時，
在為為減函數(shù)；在上為增函數(shù)，3分
            4分
               5分
（2）當(dāng)時，函數(shù)的圖像恒在直線的上方，等價(jià)于時不等式恒成立，即恒成立，     6分
令，則，當(dāng)時，，故在上遞增，所以時，，      9分
故滿足條件的實(shí)數(shù)取值范圍是          10分
（3）證明：由（2）知當(dāng)時，     11分
令，則，化簡得      13分

  

即             14分
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造法.