Question

7．若函數(shù)f（x）=e^ax+3x有大于零的極值點(diǎn)，則 a的取值范圍是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為f′（x）=3+ae^ax=0有正根，通過(guò)討論此方程根為正根，求得參數(shù)的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=e^ax+3x，則f′（x）=3+ae^ax，
∵函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點(diǎn)，
∴f′（x）=3+ae^ax=0有正根，
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）=3+ae^ax＞0，
∴f′（x）=3+ae^ax=0無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)y=e^ax+3x，x∈R無(wú)極值點(diǎn)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=3+ae^ax=0，解得x=$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$），
當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）時(shí)，f′（x）＜0，
∴x=$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）為函數(shù)的極值點(diǎn)，
∴$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）＞0，解得a＜-3，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜-3．
故答案為：（-∞，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題時(shí)要注意極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)等于0的根，從而可以講問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根的存在性問(wèn)題進(jìn)行解決．屬于中檔題．