【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若橢圓的左焦點為
，過點的直線
與橢圓交于
兩點，則在
軸上是否存在一個定點
使得直線
的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點的坐標；若不存在，也請說明理由．
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）據(jù)題意，得
，求解方程組確定a,b的值即可求得橢圓方程；
（2）據(jù)題設(shè)知點
，當直線
的斜率存在時，設(shè)直線的方程為
．與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理有
． 假設(shè)存在點M滿足題意，則
，結(jié)合韋達定理求解實數(shù)m的值即可；然后討論斜率不存在的情況即可確定定點M存在.
（1）據(jù)題意，得
解得
，
所以橢圓
的標準方程為
．
（2）據(jù)題設(shè)知點，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．
由
，得
．
設(shè)
，則．
設(shè)
，則直線
的斜率分別滿足
．
又因為直線的斜率互為相反數(shù)，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，所以
．
若對任意
恒成立，則
，
當直線的斜率
不存在時，若，則點
滿足直線的斜率互為相反數(shù)．
綜上，在
軸上存在一個定點，使得直線的斜率互為相反數(shù)．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了解高一年級學生的智力水平，某校按1:10的比例對700名高一學生按性別分別進行“智力評分”抽樣調(diào)查，測得“智力評分”的頻數(shù)分布表如表1、表2所示.
表1：男生“智力評分”頻數(shù)分布表
智力評分/分 |
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頻數(shù) | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2：女生“智力評分”頻數(shù)分布表
智力評分/分 |
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頻數(shù) | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
（1）求高一年級的男生人數(shù)，并完成下面男生“智力評分”的頻率分布直方圖；
（2）估計該校高一年級學生“智力評分”在
內(nèi)的人數(shù).
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】將邊長為正整數(shù)m、n的矩形劃分成若干邊長均為正整數(shù)的正方形，每個正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長之和的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的最大值是0，函數(shù)
．
（Ⅰ）求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）若當
時，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，圓盤上有一指針，開始時指向圓盤的正上方．指針每次順時針方向繞圓盤中心轉(zhuǎn)動一角
，且
，經(jīng)2004次旋轉(zhuǎn)，第一次回到了其初始位置，即又指向了圓盤的正上方．試問：有多少個可能的不同值?
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】直線l的極坐標方程為θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲線C1的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)），圓C2的普通方程為x2＋y2＋2
x＝0.
（1）求C1，C2的極坐標方程；
（2）若l與C1交于點A，l與C2交于點B，當|AB|＝2時，求△ABC2的面積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)h(x)＝(m2－5m＋1)xm+1為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．
(I)求m的值；
(II)求函數(shù)g(x)＝h(x)＋
，x∈
的值域．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】一個正方形被剖分為4個正方形，剖分圖的邊數(shù)為12.若一個正方形被剖分為2005個凸多邊形，試求剖分圖中邊數(shù)的最大值.
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