Question

【題目】已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分類(lèi)討論，將的零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)求解出來(lái).（2）構(gòu)造函數(shù)，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，先利用確定的一個(gè)范圍，然后利用的二階導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證在這個(gè)范圍內(nèi)，的最大值不大于零，由此求得的取值范圍.

解：（1）由題意得的定義域?yàn)?/span>，.

（i）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，，

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可知直線與函數(shù)圖象的相切點(diǎn)，此時(shí)切線的斜率為.

①當(dāng)，即時(shí)，兩個(gè)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)，兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)，即時(shí)兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)，即時(shí)，兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）設(shè) ，

要使原不等式恒成立，則只要對(duì)恒成立，

所以.

令，則.

由于“對(duì)恒成立”的一個(gè)必要條件是，即.

當(dāng)時(shí)，，，

所以在上單調(diào)遞減.

所以，，從而在上單調(diào)遞減，則，，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.