【題目】在棱長為1的正方體
中，點
是對角線
上的動點（點與
不重合），則下列結(jié)論正確的是__________
①存在點，使得平面
平面
；
②存在點，使得平面
平面
；
③
的面積可能等于
；
④若
分別是
在平面
與平面
的正投影的面積，則存在點，使得
【答案】①②③④
【解析】
根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及三角形的面積公式和投影的定義，即可求解，得到答案.
①如圖所示，當
是
中點時，可知也是
中點且
，
，
，所以
平面
，所以
，同理可知
，
且
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面，故正確；
②如圖所示，取靠近
的一個三等分點記為，記
，
，因為
，所以
，所以
為靠近
的一個三等分點，
則為
中點，又
為
中點，所以
，且
，
，
，所以平面
平面
，且
平面，
所以
平面，故正確；
③如圖所示，作
，在
中根據(jù)等面積得：
，
根據(jù)對稱性可知：
，又
，所以
是等腰三角形，
則
，故正確；
④如圖所示，設(shè)
，
在平面
內(nèi)的正投影為
，在平面
內(nèi)的正投影為
，所以
，
，當
時，解得：
，故正確.
故答案為 ①②③④
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在無窮數(shù)列
中，
是給定的正整數(shù)，
，
．
（Ⅰ）若
，寫出
的值；
（Ⅱ）證明：數(shù)列中存在值為
的項；
（Ⅲ）證明：若互質(zhì)，則數(shù)列中必有無窮多項為
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】現(xiàn)有一長為100碼，寬為80碼，球門寬為8碼的矩形足球運動場地，如圖所示，其中
是足球場地邊線所在的直線，球門
處于所在直線的正中間位置，足球運動員（將其看做點
）在運動場上觀察球門的角
稱為視角．
（1）當運動員帶球沿著邊線
奔跑時，設(shè)到底線的距離為
碼，試求當
為何值時最大；
（2）理論研究和實踐經(jīng)驗表明：張角越大，射門命中率就越大．現(xiàn)假定運動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運球，運動到視角最大的位置即為最佳射門點，以的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系，求在球場區(qū)域
內(nèi)射門到球門的最佳射門點的軌跡.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學生 | 60 | 20 | 80 |
北方學生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有
的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；
已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．
附：
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發(fā)現(xiàn)成績都在
內(nèi),現(xiàn)將成績按區(qū)間
,
,
,
，
進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖．
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù)；
(2)從青年組,的分數(shù)段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分數(shù)段的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發(fā)現(xiàn)成績都在
內(nèi),現(xiàn)將成績按區(qū)間
,
,
,
，
進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖．
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù)；
(2)從青年組,的分數(shù)段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分數(shù)段的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
的導函數(shù)為
.
（1）試討論函數(shù)的零點個數(shù)；
（2）若對任意的
，關(guān)于
的不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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