Question

（12分）已知焦點在軸，頂點在原點的拋物線經過點，以拋物線上一點為圓心的圓過定點（0，1），記為圓與軸的兩個交點．

（1）求拋物線的方程；

（2）當圓心在拋物線上運動時，試判斷是否為一定值？請證明你的結論；

（3）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值．

Answer 1

（1）；（2）是定值（3）

【解析】

試題分析：（1）由已知，設拋物線方程為，解得p=1．

所求拋物線的方程為．

（2）法1:設圓心，則圓的半徑r=

圓的方程為

令y=0，得，得．

（定值）．

法2:設圓心，因為圓過A（0,1），所以半徑r=，

因為 在拋物線上，，且圓被x軸截得的弦長

（定值）

（3）由（2）知，不妨設，

,

,

當a=0時，時， ，

故當且僅當時，取得最大值

考點：本題考查拋物線的性質，最值問題，基本不等式的應用．