Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{ax}$-lnx（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a=1時，求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值和最小值（參考數(shù)據(jù)：0.69＜ln2＜0.70）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導，利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性，求出單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）代入a值，得出函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調性求閉區(qū)間函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{x-1}{ax}$-lnx
=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{ax}$-lnx
f'（x）=$\frac{1}{a{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$
=$\frac{1-ax}{a{x}^{2}}$，
當a＞0時，
令f'（x）＞0，
∴$\frac{1}{a}$＞x．
∴在（0，$\frac{1}{a}$）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
在（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）遞減．
當a＜0時，f'（x）＜0，f（x）在定義域內遞減；
（Ⅱ）若a=1，函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），
則f（1）為最大值-In1=0
∴最大值為0
最小值則比較f（$\frac{1}{2}$）與f（2）的大小
f（$\frac{1}{2}$）=-1+ln2＜f（2）=$\frac{1}{2}$-ln2，
∴最小值為-1+ln2，
故最大值為0，最小值為-1+ln2．

點評 本題考查了導函數(shù)的應用和利用單調性求閉區(qū)間函數(shù)的最值，難點是對導函數(shù)正負的分類討論．