Question

（本小題15分）

已知橢圓C：，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G： （是橢圓的焦半距）相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N．

（1）若橢圓C經過兩點、，求橢圓C的方程；

（2）當為定值時，求證：直線MN經過一定點E，并求的值（O是坐標原點）；

（3）若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令橢圓，其中，

得，所以，即橢圓為．         ………3分

（2）直線，

設點，則中點為，

所以點所在的圓的方程為，

化簡為，                                  ………5分

與圓作差，即有直線，

因為點在直線上，所以，

所以，所以，

得，故定點，   …8分

．                          ………9分

（3）由直線AB與圓G： （是橢圓的焦半距）相離，

則，即，，

得

因為， 所以，①              ………11分

連接若存在點使為正三角形，則在中，，

所以，，

，得

因為，所以，②                            ………14分

由①②，，

所以．                                     ………15分