Question

若橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸的一個端點與左右焦點、組成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離為.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點作直線與橢圓交于、兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)且

【解析】

試題分析：(1)設(shè)橢圓的方程為 

由所以，橢圓的方程為 ……1…5 分

(2)、，

當(dāng)直線的斜率不存在時，的中點為，直線的斜率；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，直線的方程為：，……2

由12聯(lián)立消去并整理得：

設(shè)，則       ……10分

當(dāng)時，的中點為坐標(biāo)原點，直線的斜率；      ……11 分

當(dāng)時，，

且 ……13 分

考點：橢圓方程性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系

點評：直線與橢圓相交的問題常聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解，在求解過程中要注意分直線斜率是否存在兩種情況分別討論，再應(yīng)用均值不等式求得斜率最值