Question

【題目】已知數列{an}滿足an+1+an=4n﹣3，n∈N*
（1）若數列{an}是等差數列，求a1的值；
（2）當a1=﹣3時，求數列{an}的前n項和Sn；
（3）若對任意的n∈N* ， 都有 ≥5成立，求a1的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1+an=4n﹣3，n∈N*，∴a2+a1=1，a3+a2=5，

∴a3﹣a1=5﹣1=4，設等差數列{an}的公差為d，則2d=4，解得d=2．

∴2a1+2=1，解得a1=﹣

（2）解：∵an+1+an=4n﹣3，an+2+an+1=4n+1，∴an+2﹣an=4，a2=4．

∴數列{an}的奇數項與偶數項分別成等差數列，公差都為4．

∴a2k﹣1=﹣3+4（k﹣1）=4k﹣7；a2k=4+4（k﹣1）=4k．

∴an= ，

∴當n為偶數時，Sn=（a1+a2）+…+（an﹣1+an）=﹣3+9+…+（4n﹣3）= = ．

當n為奇數時，Sn=Sn+1﹣an+1= ﹣2（n+1）= ．

∴Sn=

（3）解：由（2）可知：an= ．

當n為奇數時，an=2n﹣2+a1，an+1=2n﹣1﹣a1，

由 ≥5成立，an+1+an=4n﹣3，可得： ﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，

令f（n）=﹣4n2+16n﹣10=﹣4（n﹣2）2+6，當n=1或3時，[f（n）]max=2，∴ ﹣a1≥2，解得a1≥2或a1≤﹣1．

當n為偶數時，an=2n﹣3﹣a1，an+1=2n+a1，

由 ≥5成立，an+1+an=4n﹣3，可得： +3a1≥﹣4n2+16n﹣12，

令g（n）=﹣4n2+16n﹣12=﹣4（n﹣2）2+4，當n=2時，[f（n）]max=4，∴ +3a1≥4，解得a1≥1或a1≤﹣4．

綜上所述可得：a1的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．

【解析】（1）由an+1+an=4n﹣3，n∈N* ， 可得a2+a1=1，a3+a2=5，相減可得a3﹣a1=5﹣1=4，設等差數列{an}的公差為d，可得2d=4，解得d．（2）由an+1+an=4n﹣3，an+2+an+1=4n+1，可得an+2﹣an=4，a2=4．可得數列{an}的奇數項與偶數項分別成等差數列，公差都為4．對n分類討論利用等差數列的求和公式即可得出．（3）由（2）可知：an= ．當n為奇數時，an=2n﹣2+a1 ， an+1=2n﹣1﹣a1 ， 由 ≥5成立，an+1+an=4n﹣3，可得： ﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，令f（n）=﹣4n2+16n﹣10，求出其最大值即可得出．當n為偶數時，同理可得．
【考點精析】通過靈活運用等差關系的確定和數列的前n項和，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．