Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）若直線 與曲線和分別交于兩點.設(shè)曲線

在點處的切線為， 在點處的切線為.

（�。┊�(dāng)時，若 ，求的值；

（ⅱ）若，求的最大值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)恰有兩個不同的極值點， ，且．

若，且恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ） (ⅱ) （2）

【解析】試題分析：（1）由和導(dǎo)數(shù)可得， ，可求得。

由，則在上有解. 即在上有解.

設(shè)， ，則.分，a=0,a>0討論。（2）

. 在其定義域內(nèi)的兩個不同的極值點，. 即， . 兩式作差得， . 由 . 令，則，由題意知: l 在上恒成立， 可求范圍。

試題解析： (Ⅰ) 函數(shù)的定義域為.

， .

（ⅰ）當(dāng)時， ， .

因為，所以. 即.

解得.

(ⅱ)因為，則在上有解. 即在上有解.

設(shè)， ，則.

當(dāng)時， 恒成立，則函數(shù)在上為增函數(shù).

當(dāng)時，取，

取， , 所以在上存在零點.

當(dāng)時， 存在零點， ，滿足題意.

（2）當(dāng)時，令，則.則在上為增函數(shù)， 上為減函數(shù).

所以的最大值為.解得.

取， .

因此當(dāng)時，方程在上有解.

所以， 的最大值是.

另解：函數(shù)的定義域為. ， .

則， .

因為，則在上有解.即在上有解.

因為，所以.

令 ()..得.

當(dāng)， ， 為增函數(shù)；

當(dāng)， ， 為減函數(shù)；

所以.

所以， 的最大值是.

（Ⅱ） .

因為為在其定義域內(nèi)的兩個不同的極值點，

所以是方程的兩個根. 即， .

兩式作差得， .

因為 ，由，得. 則 . 令，則，由題意知:

在上恒成立，

令，

則=.當(dāng)，即時， ， ，

所以在上單調(diào)遞增.

又，則在上恒成立.

當(dāng)，即時， 時， ， 在上為增函數(shù)； 當(dāng)時， ， 在上為減函數(shù).

又，所以不恒小于，不合題意.

綜上， .