Question

11．關(guān)于x的一元二次方程x²+2mx+m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0沒(méi)有正實(shí)根，則m的取值范圍為m≥$\frac{3}{2}$或m＜-3．

Answer 1

分析 根據(jù)方程根與判別式△之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：判別式△=4m²-4（m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$）=2m+6，
若判別式△＜0，得2m+6＜0，即m＜-3，此時(shí)方程無(wú)解，滿足方程沒(méi)有正實(shí)根．
若判別式△=0，則2m+6=0，解得m=-3，
此時(shí)方程的根為x=-$\frac{2m}{2}$=-m=3，方程的根為正數(shù)，不滿足條件．
若判別式△＞0，
則2m+6＞0，解得m＞-3．
若一元二次方程x²+2mx+m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0有0根，
則m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0，即2m²-m-3=0，解得m=-1或m=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)m=-1時(shí)，方程為x²-2x=0，解得x=0或2，有一個(gè)正根，不滿足條件．
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，方程為x²+3x=0，解得x=0或-3，沒(méi)有正根，滿足條件．
故此時(shí)m=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)m≠$\frac{3}{2}$且m≠-1時(shí)，一元二次方程x²+2mx+m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0沒(méi)有0根，
此時(shí)一元二次方程x²+2mx+m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0有兩個(gè)不同的負(fù)數(shù)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＞-3且m≠-1且m≠\frac{3}{2}}\\{-2m＜0}\\{{m}^{2}-\frac{m}{2}-\frac{3}{2}＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞-3且m≠-1且m≠\frac{3}{2}}\\{m＞0}\\{m＞\frac{3}{2}或m＜-1}\end{array}\right.$，
解得m＞$\frac{3}{2}$，
綜上m≥$\frac{3}{2}$或m＜-3
故答案為：m≥$\frac{3}{2}$或m＜-3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布，根據(jù)判別式△與根的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，需要進(jìn)行分類討論．