Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，是直角三角形，為中點．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）取的中點，根據等邊三角形性質得，根據矩形性質得，最好根據線面垂直判定定理與性質定理得結果；

（2）法一：建立空間直角坐標系，利用向量數量積求各面方向量 ，再根據二面角與法向量夾角關系求結果；法二：取的中點，證明為二面角的平面角，再根據解三角形得結果.

（1）取的中點，連接，

在等邊三角形中，；

在矩形中，，則．

∵，∴平面．

∵平面，∴．

（2）法一：設，則，

∵且點為的中點，（三線合一）

∴為等腰直角三角形且．

∵，∴．

∴兩兩垂直

以為原點，為軸，為軸，為軸，

建立空間直角坐標系，

則，

．

設平面的一個法向量為的，由得

令得．

（注：也可證明為平面的一個法向量）

設平面的一個法向量為，由得

令得．

．

由圖知，二面角為鈍角，則二面角的余弦值為．

（2）法二：

設，則，

∵且點為的中點，（三線合一）

∴為等腰直角三角形，∴，

∴為等腰三角形，

取的中點，連接，∵，∴．

在等邊三角形中，連接，則，．

則為二面角的平面角．

連接，在中，由余弦定理，．

則二面角的余弦值為．