Question

【題目】自然狀態(tài)下的魚(yú)類是一種可再生資源，為了持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響.用表示某魚(yú)群在第年年初的總量且.不考慮其他因素，設(shè)在第年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)，，

（1）求與的關(guān)系式

（2）若每年年初魚(yú)群的總量保持不變，求，，，所應(yīng)滿足的條件

（3）設(shè)，，為保證對(duì)任意，都有，則捕撈強(qiáng)度的最大允許值是多少？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），且；（3）捕撈強(qiáng)度的最大允許值是1.

【解析】

（1）利用題中的關(guān)系求出魚(yú)群的繁殖量，被捕撈量和死亡量就可得到與的關(guān)系式；

（2）每年年初魚(yú)群的總量保持不變就是恒等于，轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用（1）的結(jié)論，就可找到，，，所滿足的條件；

（3）先利用（1）的結(jié)論找到關(guān)于和的不等式，再利用，求出的取值范圍以及的最大允許值，最后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可

（1）從第年初到第年初，魚(yú)群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，

因此，即，

（2）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則恒等于，，

得到恒等于0，，所以.即.

因?yàn)?/span>，所以.

當(dāng)，且.每年年初魚(yú)群的總量保持不變.

（3）若的值使得，

由，，知，，

特別地，有.即.

而，所以.由此猜測(cè)的最大允許值是1.

當(dāng)，時(shí)，都有，，

①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，

則當(dāng)時(shí)，.

又因?yàn)?/span>，

所以，故當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.

故對(duì)于任意的，都有.

綜上所述，為保證對(duì)任意，都有，，

則捕撈強(qiáng)度的最大允許值是1.