Question

如圖F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為雙曲線E的兩焦點(diǎn)，以F₁F₂為直徑的圓O與雙曲線E交于M、N、M₁、N₁，B是圓O與y軸的交點(diǎn)，連接MM₁與OB交于H，且H是OB的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)c=1時(shí)，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)；
（3）連接F₁M與雙曲線E交于點(diǎn)A，是否存在常數(shù)λ，使

F1A

=λ

AM

恒成立，若存在試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由c=1，知B（0，1），H(0，

1

2

)，M(

3

2

，

1

2

)，由此能求出雙曲線E的方程．
（2）由F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，

c

2

)，M(

3 c

2

，

c

2

)，能夠證明對(duì)任意的正實(shí)數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)e=

2

．
（3）設(shè)存在常數(shù)λ，使

F1A

=λ

AM

恒成立，所以F1(-c，0)，M(

3 c

2

，

c

2

)，
A(

( 3 λ-2)c

2(1+λ)

，

λc

2(1+λ)

)，A在E上，則

( 3 λ-2)2c2

4(1+λ)2a2

-

λ2c2

4(1+λ)2b2

=1，由e=

2

，則

c

a

=

c

b

=

2

，知λ=

3 -1

4

．

解答：解：（1）由c=1有B（0，1），H(0，

1

2

)，M(

3

2

，

1

2

)，
設(shè)E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，M在E上，則

a2+b2=1 3 4a2 - 1 4b2 =1

解得

a2= 1 2 b2= 1 2

，
∴當(dāng)c=1時(shí)，雙曲線E的方程E：2x²-2y²=1
（2）F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，

c

2

)，M(

3 c

2

，

c

2

)
設(shè)E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，

a2+b2=c2 3c2 4a2 - c2 4b2 =1

，即3e4-8e2+4=1，
e2=2或e2=

2

3

(舍)，
∴e=

2

為常數(shù)    （8分）
（3）設(shè)存在常數(shù)λ，
使

F1A

=λ

AM

恒成立，
∴F1(-c，0)，M(

3 c

2

，

c

2

)，
有A(

( 3 λ-2)c

2(1+λ)

，

λc

2(1+λ)

)，A在E上，則

( 3 λ-2)2c2

4(1+λ)2a2

-

λ2c2

4(1+λ)2b2

=1，
∵e=

2

，
則

c

a

=

c

b

=

2

，
∴λ=

3 -1

4

∴存在常數(shù)λ=

3 -1

4

使

F1A

=λ

AM

恒成立（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．