Question

【題目】已知橢圓的離心率，點(diǎn)在橢圓上，、分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的延長線于點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程及直線被橢圓截得的弦長；

（Ⅱ）求證：以為直徑的圓與直線相切.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要有兩個(gè)獨(dú)立的條件，本題中離心率是一個(gè)，又一個(gè)頂點(diǎn)說明，這樣易求得，得橢圓方程，而求橢圓中的弦長，首先寫出直線方程，代入橢圓方程得的一元二次方程，可解得，由弦長公式可得弦長；（Ⅱ）要證此結(jié)論，只要證的中點(diǎn)到直線的距離等線段長的一半即可，為此求出方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，得中點(diǎn)坐標(biāo)，及圓半徑，求圓心到直線的距離．

試題解析：（Ⅰ）∵橢圓過點(diǎn)，

∴，又，即，.

故，

∴橢圓方程為.

則，，直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立有.

消去得到，解得.

由弦長公式得；

（Ⅱ）證明：過，的直線的直線方程為：

與的直線方程聯(lián)立有，

所以以為直徑的圓的圓心為，半徑，

圓心到直線的距離，

所以以為直徑的圓與直線相切.