【題目】已知橢圓
短軸的一個端點與其兩個焦點構(gòu)成面積為3的直角三角形.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過圓
上任意一點
作圓
的切線
， 
與橢圓
交于
兩點，以
為直徑的圓是否過定點，如過，求出該定點；不過說明理由.
【答案】（1）
（2）坐標原點
【解析】試題分析：（1）由題意得直角三角形為等腰直角三角形，所以
，再根據(jù)面積得
，解得
（2）先探索：以
為直徑的圓過坐標原點，再以算代證：設(shè)
，則只需證明
，設(shè)
方程
，則只需證
，由直線與圓相切可得
，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理給予證明.
試題解析：（I）因為橢圓
短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形，所以
,
故橢圓
的方程為
，
（Ⅱ）圓
的方程為
,設(shè)
為坐標原點
當(dāng)直線
的斜率不存在時，不妨設(shè)直線AB方程為
，
則
，所以
所以
為直徑的圓過坐標原點
當(dāng)直線
的斜率存在時，設(shè)其方程設(shè)為
，設(shè)
因為直線與相關(guān)圓相切，所以
聯(lián)立方程組
得
,
即
,
,
所以
為直徑的圓恒過坐標原點
.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】點P(－1,2,3)關(guān)于xOz平面對稱的點的坐標是 ( )
A. (1,2,3) B. (－1，－2,3)
C. (－1,2，－3) D. (1，－2，－3)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，點
在橢圓上，
、
分別為橢圓的左右頂點，過點
作
軸交
的延長線于點
，
為橢圓的右焦點.
（Ⅰ）求橢圓的方程及直線
被橢圓截得的弦長
；
（Ⅱ）求證：以
為直徑的圓與直線
相切.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】社區(qū)服務(wù)是綜合實踐活動課程的重要內(nèi)容，某市教育部門在全市高中學(xué)生中隨機抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段
，
，
，
，
（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù)，并估計從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率；
（2）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3位學(xué)生，記
為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的人數(shù)，試求隨機變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的函數(shù)
是奇函數(shù)，函數(shù)
的定義域為
．
（1）求
的值；
（2）若在上遞減，根據(jù)單調(diào)性的定義求實數(shù)
的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)
在區(qū)間
上有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列結(jié)論正確的是 （ ）
A. 各個面都是三角形的幾何體是三棱錐
B. 以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
C. 棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐
D. 圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求實數(shù)
的取值范圍，使
在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
短軸的一個端點與其兩個焦點構(gòu)成面積為3的直角三角形.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過圓
上任意一點
作圓
的切線
，
與橢圓
交于
兩點，以
為直徑的圓是否過定點，如過，求出該定點；不過說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)
時，函數(shù)
的圖象恒在函數(shù)
的圖象的上方，求實數(shù)
的取值范圍．
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