Question

7．已知非零向量$\overrightarrow a，\vec b$滿足$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$且$（\overrightarrow a+\vec b）⊥\vec b$，則向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 直接由向量垂直可得數(shù)量積為0，代入$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$，得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$．則向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角可求．

解答 解：∵$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$，且$（\overrightarrow a+\vec b）⊥\vec b$，
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}=0$，
即$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|•cos$＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞+$|\overrightarrow{|}^{2}=0$，
則2$|\overrightarrow{|}^{2}$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞+$|\overrightarrow{|}^{2}=0$，
得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$．
∴向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查由數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．