Question

【題目】已知集合為平面內(nèi)的一個(gè)有限點(diǎn)集, 為平面內(nèi)的一個(gè)正三角形,集合,且.若對(duì)任意滿足條件的集合S,均可以被正三角形的兩個(gè)平移圖形覆蓋,證明:集合可以被正三角形的兩個(gè)平移圖形覆蓋.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明兩個(gè)引理

引理1 若兩個(gè)三角形、正同位相似,且三角形與三角形的三條邊所在的直線相交,則三角形位于三角形之中此命題顯然成立

引理2 對(duì)任何有限點(diǎn)集和任何三角形,均可以找到一個(gè)與三角形正同位相似的三角形,使得三角形包含點(diǎn)集,且在三角形的每條邊上均有點(diǎn)集中的點(diǎn)

引理2的證明

顯然存在包含點(diǎn)集且與三角形正同位相似的三角形,考慮其中的一個(gè).若在其某條邊上沒有點(diǎn)集中的點(diǎn),則通過作以邊所對(duì)頂點(diǎn)為中心的位似變換將其縮小,使得該邊與點(diǎn)集相交,并且縮小后的三角形仍然包含點(diǎn)集,對(duì)各條邊均如此操作,即可得到所需的三角形.

引理2得證

綜合兩個(gè)引理,知三角形的任何包含點(diǎn)集M的同位相似圖形一定包含三角形.

將引理2運(yùn)用于點(diǎn)集和正三角形,得到一個(gè)三角形,不妨稱之為.在邊上分別有點(diǎn)集X中的點(diǎn),其中,有些點(diǎn)可能重合

若的大小不超過三角形,則題中結(jié)論成立.否則,考慮、、,其中, 是以A為中心所作的的位似圖形,其大小與三角形相同,其余兩個(gè)三角形的定義類似.因而,它們均為三角形的平移圖形.

再考慮點(diǎn)集X的如下子集:

,

,

.

再證明一個(gè)引理

引理3若三角形的某個(gè)平移圖形包含點(diǎn),則圖形就不可能與相交.對(duì)于其余情形也有類似的結(jié)論

引理3的證明

假設(shè)命題不真,于是,三角形與各條邊的直線相交.從而,它包含.而三角形與是全等的三角形,故它們重合.因此,由的定義知三角形不可能與之相交.

引理3得證

對(duì)三角形T和集合,運(yùn)用引理2得到三角形、三角形、三角形,且在它們的邊上可找到分別屬于集合的點(diǎn)(可能有些點(diǎn)相互重合).

由題意,知點(diǎn)集

可被三角形T的某兩個(gè)平移圖形所覆蓋故必有一個(gè)平移圖形至少蓋住中的兩個(gè)點(diǎn),不妨設(shè).

據(jù)引理3,知三角形不可能與集合X相交.從而,點(diǎn)均含于另一個(gè)三角形中.再由引理1,知集合被包含于三角形之中,這表明,集合X被和三角形所覆蓋.