Question

16．在△ABC中，若a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，則cos（$\frac{π}{2}$-A）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，△ABC面積的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（$\frac{π}{2}$-A），利用余弦定理，基本不等式可求bc≤3，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，則cos（$\frac{π}{2}$-A）=sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴由余弦定理可得：2²=b²+c²-2×b×c×$\frac{1}{3}$≥2bc-$\frac{2}{3}$bc，解得：bc≤3，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．．