Question

14．（Ⅰ）解不等式（x+2）²（x+3）（x-2）≥0；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集為{x|x＜-2或x＞-$\frac{1}{2}$}，求關(guān)于x的不等式cx²+bx+a＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式可化為：（x+2）²（x+3）（x-2）=0 ①或（x+2）²（x+3）（x-2）＞0②，解得答案；
（Ⅱ）由不等式ax²+bx+c＜0的解集為{x|x＜-2或x＞-$\frac{1}{2}$}，a＜0，且x=-2和x=-$\frac{1}{2}$是方程ax²+bx+c=0的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理，可將不等式cx²+bx+a＞0化為${x^2}+\frac{5}{2}x+1＜0$，解得答案．

解答 解：（Ⅰ）原不等式可化為：（x+2）²（x+3）（x-2）=0 ①或（x+2）²（x+3）（x-2）＞0②，
解①得：x=-3或x=-2或x=2，
解②得：x＜-3或x＞2
∴原不等式的解集為{x|x≤-3或x≥2或x=-2}
（Ⅱ）∵不等式ax²+bx+c＜0的解集為{x|x＜-2或x＞-$\frac{1}{2}$}，
∴a＜0，且x=-2和x=-$\frac{1}{2}$是方程ax²+bx+c=0的兩根，
∴韋達(dá)定理得：-2+（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$=-$\frac{a}$，-2×（-$\frac{1}{2}$）=1=$\frac{c}{a}$，
將不等式cx²+bx+a＞0兩邊同除以a得：
$\frac{c}{a}{x^2}+\frac{a}x+1＜0$
即${x^2}+\frac{5}{2}x+1＜0$，
∴$-2＜x＜-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是高次不等式的解法，二次不等式解集的端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系，難度中檔．