Question

(13分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，為等邊三角形，又平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）若在邊BC上存在一點Q，使PQ⊥QD，求的取值范圍；

（Ⅱ）當邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求二面角A－PD－Q的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）取AD中點O，連接PO，則PO⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD………2分

建立如圖的空間直角坐標系，則,設(shè)Q（t，2，0），

則 ＝（t，2，－），＝（t，2，0）．            
∵PQ⊥QD，∴．

∴,等號成立當且僅當t=2．

故的取值范圍為． …………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當，=8時，邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD．

此時Q（2，2，0），D（4，0，0）, ．                               

設(shè)是平面的法向量，＝（2，2，），

＝（-2，2，0）．            
由，得．

取，則  是平面的一個法向量．                 

而是平面的一個法向量，                  

設(shè)二面角A－PD－Q為，由．

∴二面角A－PD－Q的余弦值為．  ……13分