Question

(本題滿分13分)如圖，在四棱錐中，底面是矩形，知。

（1）證明：；

（2）求異面直線與所成的角的余弦值；

（3）求二面角的大小余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1），，；（2）;（3）

【解析】

試題分析：（1）證明：在中，由題設(shè)，

可得，于是，

在矩形中，，

又，所以；                              ……4分

（2）由題意得，，

所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角在中，

由余弦定理得，

由（1）知，，

所以，因而，

故是直角三角形，

所以，

所以異面直線與所成的角的余弦值為；                       ……9分

（3）過(guò)點(diǎn)做于，過(guò)點(diǎn)做于，連接

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082713241508562737/SYS201308271325028775847311_DA.files/image005.png">，，，又，

所以，

故為在平面內(nèi)的射影，所以，

故是二面角的平面角。

由題設(shè)可得，，

，

于是在中，，

所以二面角的余弦值為.                              ……13分

考點(diǎn)：本小題主要考查空間中線面垂直的證明和異面直線所成的角以及二面角的求法，考查學(xué)生的空間向量能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：證明直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí)，要注意擺清楚條件，各條件缺一不可，求兩條異面直線所成的角時(shí)，要注意角的取值范圍.