Question

設函數在上的最大值為（）．

（1）求數列的通項公式；

（2）求證：對任何正整數n (n≥2)，都有成立；

（3）設數列的前n項和為Sn，求證：對任意正整數n，都有成立．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求得，令，得或，因為要考慮根與定義域的位置關系，故需討論n的取值．當時，，此時，函數單調遞減；當時，，將定義域分段，并考慮導函數符號，劃分單調區(qū)間，判斷函數大致圖象，進而求最大值，從而求得；（2）由（1）得，將所求證不等式等價變形為，，再利用二項式定理證明；（3）由（2）得，，再將不等式放縮為可求和的數列問題處理．

（1）

，

當時，由知或，

當時，則，時，，在上單調遞減，

所以

當時，，時，，時，，

∴在處取得最大值，即，

綜上所述，.

（2）當時，要證，只需證明

∵

∴,所以，當時，都有成立．

（3）當時，結論顯然成立；

當時，由（II）知

．

所以，對任意正整數，都有成立． 13分

考點：1、利用導數求函數的最值；2、二項式定理；3、放縮法．