Question

12．函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)y取最大值1，當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時(shí)，y取最小值-1．
（1）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，求經(jīng)以上變換后得到的函數(shù)解析式g（x）．
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求得φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的周期性以及圖象的對稱性，求得方程f（x）=a在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

解答 解：（1）∵$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$，∴ω=3，
又因sin（$\frac{3π}{4}$+φ）=1，∴$\frac{3π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，再結(jié)合，|φ|＜$\frac{π}{2}}$，
可得φ=-$\frac{π}{4}$，∴函數(shù) f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位，可得y=sin[3（x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（3x+$\frac{5π}{4}$）的圖象；
再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，
經(jīng)以上變換后得到的函數(shù)解析式g（x）=sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$）．
（3）∵f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的周期為$\frac{2π}{3}$，
∴f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）在[0，2π]內(nèi)恰有3個(gè)周期，
∴sin（3x-$\frac{π}{4}$）=a （0＜a＜1）在[0，2π]內(nèi)有6個(gè)實(shí)根且x₁+x₂=$\frac{π}{2}$，
同理，x₃+x₄=$\frac{11π}{6}$，x₅+x₆=$\frac{19π}{6}$，
故所有實(shí)數(shù)之和為 $\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{6}$+$\frac{19π}{6}$=$\frac{11π}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，利用了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．