Question

在平面直角坐標系中，若，且.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知定點，若斜率為的直線過點并與軌跡交于不同的兩點，且對于軌跡上任意一點，都存在，使得成立，試求出滿足條件的實數(shù)的值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，則，，由可得，結(jié)合橢圓的定義可知，動點的軌跡是以為焦點，4為長軸長的橢圓，從而可以確定橢圓標準方程中的參數(shù)的取值，進而寫出橢圓的方程即可；（2）設(shè)，直線：，聯(lián)立直線的方程與（1）中橢圓的方程，消去得到，進而根據(jù)得，且，再計算出，然后由確定的橫縱坐標，根據(jù)點在軌跡上，將點的坐標代入軌跡的方程并由的任意性，得到即，從中求解，并結(jié)合即可得到滿足要求的的值.

試題解析：（1）設(shè)，則，

由可得

∴動點到兩個定點的距離的和為4

∴軌跡是以為焦點的橢圓，且長軸長為

設(shè)該橢圓的方程為

則有且，所以

所以軌跡的方程為

（2）設(shè)，直線的方程為，代入

消去得

由得，且

∴

設(shè)點，由可得

∵點在上

∴

∴

又因為的任意性，∴

∴，又，得

代入檢驗，滿足條件，故的值是．

考點：1.動點的軌跡問題；2.橢圓的定義及其標準方程；3.直線與圓錐曲線的綜合問題.