Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設，求證：；

（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）利用二次求導可得，所以在上為增函數(shù)，進而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）利用導數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進而可證；（Ⅲ）條件等價于對于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可得的單調(diào)性，即可得到的最小值為，再次構(gòu)造函數(shù)（a），，利用導數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進而求得最大值．

（Ⅰ）當時，，

則，所以，

又因為，所以在上為增函數(shù)，

因為，所以當時，，為增函數(shù)，

當時，，為減函數(shù)，

即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

（Ⅱ），

則令，則（1），，

所以在區(qū)間上存在唯一零點，

設零點為，則，且，

當時，，當，，，

所以函數(shù)在遞減，在，遞增，

，

由，得，所以，

由于，，從而；

（Ⅲ）因為對于恒成立，即對于恒成立，

不妨令，

因為，，

所以的解為，

則當時，，為增函數(shù)，

當時，，為減函數(shù)，

所以的最小值為，

則，

不妨令（a），，

則（a），解得，

所以當時，（a），（a）為增函數(shù)，

當時，（a），（a）為減函數(shù)，

所以（a）的最大值為，

則的最大值為．