Question

【題目】如圖：在直三棱柱中，，，是棱上一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，由平面，利用線面平行的性質(zhì)，可得，由是的中點(diǎn)，證得為的中點(diǎn)；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的正弦值；

（3）在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，設(shè)，根據(jù)直線與平面所成的角的正弦值，求出，求出線段的長(zhǎng)

（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)

∵平面，平面，平面平面，∴.

∵為正方形的中心，∴.∴.

∵，∴.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，

設(shè)平面的法向量為，又

則，令，得，

設(shè)平面的法向量為，又

則則，令，得，

∴.

∴.

∴二面角的正弦值為.

（3）設(shè)，其中

∴

∵，∴

∴，.