Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸，選擇相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，圓極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線與圓的交點(diǎn)為、，證明：是與無(wú)關(guān)的定值.

Answer 1

【答案】（1）直線的普通方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為；（2）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，消去得到直線的普通方程，由圓極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得到原的直角坐標(biāo)方程．

(Ⅱ)將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，，得，由的幾何意義可求得的值．

試題解析：

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

消去得．由圓極坐標(biāo)方程為，得．

故直線的普通方程為圓的直角坐標(biāo)方程為．

(Ⅱ)將代入得，．

設(shè)其兩根分別為，則．

由的幾何意義知 ．故為定值(與無(wú)關(guān)) .