Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=3n²-2n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，轉(zhuǎn)化求解等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可．
（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=3n²-2n，可得，S_n-1=3（n-1）²-2（n-1），（n≥2）
∴a_n=6n-5．當(dāng)n=1時(shí)S₁=1，滿足a_n=6n-5，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=6n-5．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{6n-5}•\frac{1}{6n+1}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n=$\frac{1}{6}$[$1-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}$]
=$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{n}{6n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．