Question

19．偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1，則關(guān)于x的方程f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在x∈[-3，3]上解的個(gè)數(shù)是3．

Answer 1

分析 討論函數(shù)y=f（x）奇偶性、周期性和x∈[0，1]時(shí)的表達(dá)式，可得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，3]上的圖象，由此作出函數(shù)y=f（x）與g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在同一坐標(biāo)系內(nèi)區(qū)間[0，3]上的圖象，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理加以討論，可得本題答案．

解答 解：∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1
∴函數(shù)y=f（x）在[0，1]上的圖象是以（0，1）和（1，0）為端點(diǎn)的線段
∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，函數(shù)圖象是以（0，1）和（-1，0）為端點(diǎn)的線段
又∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），
∴將函數(shù)圖象在區(qū)間[-1，1]上的圖象向右平移2個(gè)單位，可得區(qū)間[1，3]上的圖象
因此，作出函數(shù)y=f（x）與g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x區(qū)間[0，3]上的圖象如圖所示
顯然它們有一個(gè)公共點(diǎn)A（0，1）
∵f（1）=0＜g（1）=$\frac{1}{2}$，f（2）=1＞g（2）=$\frac{1}{4}$，
∴兩個(gè)圖象在（1，2）上有一個(gè)公共點(diǎn)B．
同理可得：兩個(gè)圖象在（2，3）上有一個(gè)公共點(diǎn)C．
所以函數(shù)y=f（x）與g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在區(qū)間[0，3]上的圖象總共有3個(gè)不同的交點(diǎn)
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題給出有周期的偶函數(shù)f（x），討論方程f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在指定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，著重考查了函數(shù)的奇偶性、周期性和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)，屬于中檔題．