Question

【題目】在邊長為4的菱形中，，點分別是邊的中點，，沿將翻折到，連接，得到如圖所示的五棱錐，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形性質(zhì)得，再根據(jù)翻折關(guān)系得，結(jié)合線面垂直判定定理得平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）分別延長和相交于點，過點做，根據(jù)計算得，即得平面，利用三垂線定理及其逆定理證得為平面與平面所成二面角的平面角.最后解直角三角形得二面角的余弦值.

試題解析：（1）因為點分別是邊的中點，所有，

因為菱形的對角線互相垂直，所以，故.

翻折后即有

因為平面，平面，，所以平面，

又因為平面，所以平面平面.

（2）分別延長和相交于點，連，設(shè)，連接，∵

∴為等邊三角形.∴，，，，在中，，在中，，∴，

∵，∴平面，

又，∴平面，

過點做，連，則為平面與平面所成二面角的平面角.

在中，，，，∴，

∴，

∴.