Question

設工廠A到鐵路線的垂直距離為20km，垂足為B． 鐵路線上距離B為100km處有一原料供應站C，現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉站，再由車站D向工廠修一條公路． 如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3：5，那么D應選在何處，才能使原料供應站C運貨到工廠所需運費最省？

Answer 1

分析：設出BD之間的距離，求得運費關于路程的函數(shù)，利用導數(shù)，即可求得結論．

解答：解：設BD之間的距離為xkm，從原料供應站C途經(jīng)中轉站D到工廠A所需運費為y，則|AD|=

x2+400

，|CD|=100-x
如果公路運費為a元/km，那么鐵路運費為

3

5

a元/km． 
故y=

3

5

a|CD|+a|AD|=

3

5

a（100-x）+a

x2+400

（0≤x≤100）
∴y′=-

3

5

a+

ax

x2+400

，令y′=0，解得x=15，x=-15（舍去）．
且x=15是函數(shù)在定義域內唯一的極值點，所以x=15是函數(shù)最小值點．
由此可知，車站D建于B，C之間且與B相距15km處時，運費最�。�

點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查導數(shù)知識的運用，單峰函數(shù)，極值就是最值，屬于中檔題．