Question

5．已知圓C：x²+y²-2y-4=0．
（1）求過點P（$\sqrt{5}$，0）與圓C相切的直線方程；
（2）若過點Q（1，1）的直線l₁，與圓C相交所得弦長為4，求直線l₁的方程；
（3）若由直線l₂：4x+3y-24=0上的動點M向圓C作切線，求所得切線長的最小值．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點P（$\sqrt{5}$，0）與圓C相切的直線方程；
（2）分類討論，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，即可求出直線l₁的方程；
（3）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，即可求出所得切線長的最小值．

解答 解：（1）C：x²+y²-2y-4=0可化為：x²+（y-1）²=5，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為x=$\sqrt{5}$，滿足題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=k（x-$\sqrt{5}$），即kx-y-$\sqrt{5}$k=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-1-\sqrt{5}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，∴k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直線的方程為y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-$\sqrt{5}$），
綜上，直線的方程為x=$\sqrt{5}$，或y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-$\sqrt{5}$）；
（2）若過點Q（1，1）的直線l₁，斜率不存在時，直線的方程為x=1，滿足題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵與圓C相交所得弦長為4，
∴4+（$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²=5，無解．
綜上，直線l₁的方程為x=1；
（3）圓心到直線的距離d=$\frac{|0+3-24|}{5}$=$\frac{21}{5}$，
∴所得切線長的最小值為$\sqrt{（\frac{21}{5}）^{2}-5}$=$\frac{6\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．