Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，， 令 ，可得，列表判斷兩邊的符號(hào)，根據(jù)極值的定義可得結(jié)果；（2）化簡(jiǎn)，求得，，設(shè)，可得，討論的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可篩選出符合題意的的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，，

令 則 列表如下：

		1
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以.

（2）設(shè)，

，

設(shè)，，

由得， ，，在單調(diào)遞增，

即在單調(diào)遞增，，

①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，在單調(diào)遞增,

又，故當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題意.

②當(dāng)，即時(shí)，由（1）可知，

所以，又

故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，

故當(dāng)時(shí)，，

在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解1.

又時(shí)，，單調(diào)遞增，

且，令，

,,故在單調(diào)遞增，又

在單調(diào)遞增，故，故，

又，由零點(diǎn)存在定理可知，，

故在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

又在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解1，不合題意.

綜上，.