Question

【題目】已知函數(shù)是的一個極值點(diǎn).

（1）若是的唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）若存在正數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時， 在遞減，在上遞增，當(dāng)時， 在,上遞增，在上遞減,當(dāng)時， 在, 上遞增，在遞減， 時， 在上遞增；（3）或.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由是極值點(diǎn)得，由此可得，即，由函數(shù)有唯一極值點(diǎn)可得恒成立或恒成立，由恒成立得，后者不可能，故可得的取值范圍；（2）對導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行討論，分為， ， 和四種情形可得導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系進(jìn)而得其單調(diào)性；（3）依據(jù)（2）中結(jié)果，當(dāng)時，當(dāng)時， 均滿足題意；當(dāng)時，根據(jù)單調(diào)性或成立即可，當(dāng)時， 滿足題意.

試題解析：（1）， 是極值點(diǎn)

，故， ，

是唯一的極值點(diǎn)， 恒成立或恒成立

由恒成立得，又 ，由恒成立得，而不存在最小值， 不可能恒成立.

（2）由（1）知，當(dāng)時， ， ； ， .

在遞減，在上遞增；當(dāng)時， ， ， ； ， ； ， ， 在、上遞增，在上遞減，當(dāng)時， 在、 上遞增，在遞減。

時， 在上遞增.

（3）當(dāng)時， ，滿足題意；當(dāng)時， ，滿足題意；當(dāng)時，由（2）知需或，

當(dāng)時， ，而，故存在使得，這樣時的值域?yàn)?/span>從而可知滿足題意

當(dāng)時，得或者解得；

當(dāng)時， 可得滿足題意， 的取值范圍或.